Question

7．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的切線，切點為A，∠DAC的平分線交⊙O于E，且滿足AB⊥AE．
（I）證明：∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）設(shè)⊙O的半徑為1，AC=$\sqrt{3}$，CE的延長線交AD于點F，求△AFC外接圓的面積．

Answer 1

分析 （I）連接BE，AO，設(shè)BE與AC交于H，由題意可得BE為直徑，運用弦切角定理和角平分線的定義，可得∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）由正弦定理求得∠ABC=60°，進而得到ABC為等邊三角形，可得BC∥AD，可得AC為△ACF的外接圓的直徑，可得半徑和圓的面積．

解答 解：（I）證明：連接BE，AO，設(shè)BE與AC交于H，
AB⊥AE，可得BE為直徑，經(jīng)過點O，
可得∠BCE=90°，
由弦切角定理，可得∠FAE=∠ACE，
由AE為角平分線，可得∠FAE=∠CAE，
即∠CAE=∠ACE，
由∠BAC+∠CAE=∠ACE+∠BCA=90°，
可得∠BAC=∠BCA；
（Ⅱ）⊙O的半徑為r=1，AC=$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得sin∠ABC=$\frac{AC}{2r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得∠ABC=60°，
由（Ⅰ）可得△ABC為等邊三角形，
AO⊥BC，又AO⊥AD，
可得BC∥AD，
由∠BCE=90°，可得CF⊥AD，
△AFC外接圓的直徑為AC，
半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面積為$\frac{3}{4}$π．

點評 本題考查圓的弦切角定理、圓的直徑所對的圓周角為直角、正弦定理的運用，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．