Question

8．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠0），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程（化為標(biāo)準(zhǔn)方程）和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且a＜1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠0），即ρ²=2aρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為p普通方程．
（2）由直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且a＜1，因此直線與圓相切，可得$\frac{|4a+5|}{5}$=|a|，解出a即可得出．

解答 解：（1）圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠0），即ρ²=2aρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2ax=0，配方為（x-a）²+y²=a²，圓心C（a，0），半徑r=|a|．
設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為：4x-3y+5=0．
（2）∵直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且a＜1，∴$\frac{|4a+5|}{5}$=|a|，化為：4a+5=±5a，解得：a=$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．