Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若a1=1，且Sn=tan﹣ ，其中n∈N*．
（1）求實(shí)數(shù)t的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log3a2n ， 求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，

解得：t= ，

∴Sn= an﹣ ，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，

∴an=Sn﹣Sn﹣1=（ an﹣ ）﹣（ an﹣1﹣ ），即an=3an﹣1，

∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

∴an=a1qn﹣1=3n﹣1，

當(dāng)n=1時(shí)，an=3n﹣1，成立，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n﹣1

（2）解：由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1，

= = （ ﹣ ），

數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn，Tn= （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ），

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

= （1﹣ ），

= ，

數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn=

【解析】（1）由當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，即可求得t的值，Sn= an﹣ ，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 整理得：an=3an﹣1 ， 數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1， = = （ ﹣ ），利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．