【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=0,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+lnx在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)過點P(1,﹣3)恰好能作函數(shù)y=f(x)圖象的兩條切線,并且兩切線的傾斜角互補,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(I)f(x)的定義域為(0,+∞) ,
當(dāng)x∈(0,+∞)時,f'(x),f(x)的變化的情況如下:
x | |||
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 極小值 |
∴f(x)的最小值是f( )=﹣ .
(Ⅱ)由題意得:
∵函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),
∴當(dāng)x∈[1,+∞)時g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,
∴ ,
∴ ,
∴ 在[1,+∞)上遞增,
∴﹣(a+1)≤h(1)=1,
∴a≥﹣2
(Ⅲ)設(shè)兩切點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),f'(x)=lnx+1+a
則函數(shù)y=f(x)在A,B處的切線方程分別為y=(lnx1+1+a)(x﹣x1)+x1lnx1+ax1=(lnx1+1+a)x﹣x1 ,
∴y=(lnx2+1+a)(x﹣x2)+x2lnx2+ax2=(lnx2+1+a)x﹣x2
且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0
即 也即
即x1 , x2是方程t2﹣6t+e﹣2(a+1)=0的兩個正根,
∴△=36﹣4e﹣2(a+1)>0,
∴a>﹣1﹣ln3
【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求f(x)的最小值;(Ⅱ)函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),可得當(dāng)x∈[1,+∞)時g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,求出左邊的最小值,即可求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求出函數(shù)y=f(x)在A,B處的切線方程,利用過點P(1,﹣3),兩切線的傾斜角互補,建立方程組,即可求實數(shù)a的取值范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線 是平面內(nèi)到定點 的距離與到定直線 的距離之和為 的動點 的軌跡.則曲線 與 軸交點的坐標(biāo)是________________;又已知點 ( 為常數(shù)),那么 的最小值 ________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計學(xué)中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學(xué)生的偏科情況,對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位:分)與物理偏差y(單位:分)之間的關(guān)系進行學(xué)科偏差分析,決定從全班56位同學(xué)中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下:
學(xué)生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為118分,物理平均分為90.5,試預(yù)測數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績.
參考公式: .
參考數(shù)據(jù): .
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【題目】如圖所示,A,B,C是雙曲線 =1(a>0,b>0)上的三個點,AB經(jīng)過原點O,AC經(jīng)過右焦點F,若BF⊥AC且|BF|=|CF|,則該雙曲線的離心率是( )
A.
B.
C.
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若a1=1,且Sn=tan﹣ ,其中n∈N*.
(1)求實數(shù)t的值和數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=log3a2n , 求數(shù)列{ }的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)對(x,y),設(shè)映射f:(x,y)→( , ),并定義|(x,y)|= ,若|f[f(f(x,y))]|=4,則|(x,y)|的值為( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx+c(ω>0,x∈R,c是常數(shù))圖象上的一個最高點為( ,1),與其相鄰的最低點是( ,﹣3).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其對稱中心;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 =﹣ ac,試求函數(shù)f(A)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元。
(1)設(shè)鐵柵長為米,一堵磚墻長為米,求函數(shù)的解析式;
(2)為使倉庫總面積達到最大,正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長?
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