Question

19．已知矩形ABCD的邊長AB=1，兩條相互垂直的線段把該矩形分成四個小矩形，要求其中一個小矩形面積不小于2，另外三個小矩形的面積均不小于1，則矩形的邊AD長度的最小值為5．

Answer 1

分析 如圖所示，AB=1．不妨設(shè)BF=a，BN=b，AD=x，0＜a＜1，0＜b＜x．由題意可得：ab≥2，（1-a）b≥1，（1-a）（x-b）≥1，a（x-b）≥1．于是b≥3，x≥b+$\frac{1}{1-a}$，x≥b+$\frac{1}{a}$，即可得出答案．

解答 解：如圖所示，AB=1．
不妨設(shè)BF=a，BN=b，AD=x，0＜a＜1，0＜b＜x．
由題意可得：ab≥2，（1-a）b≥1，（1-a）（x-b）≥1，a（x-b）≥1．
∴b≥3，x≥b+$\frac{1}{1-a}$，x≥b+$\frac{1}{a}$，
由$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴當b=3，a=$\frac{1}{2}$時，x取得最小值5．
故答案為：5．

點評 本題考查了矩形的面積、不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．