Question

2．如圖，△ABC中，∠B滿足$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求tanB的值；
（2）求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，可得3cos²B+2cosB-1=0，求出cosB，即可求tanB的值；
（2）利用余弦定理，建立方程組，即可求BC的長．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，
∴$\sqrt{2}$sinB=cosB+1，
∴2sin²B=（cosB+1）²，
∴3cos²B+2cosB-1=0，
∵0°＜B＜180°，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tanB=2$\sqrt{2}$；
（2）設CD=x，BC=y，則AD=2x，
△ABD中，2²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+4x²-2•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•2x•cos∠ADB，
△CBD中，y²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+x²-2•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•x•cos∠CDB，
相加可得4+y²=$\frac{32}{3}$+5x²，①
△ABC中，9x²=4+y²-2•2•y•$\frac{1}{3}$，②
①②聯(lián)立可得y=$\frac{5\sqrt{29}-5}{6}$，
∴BC=$\frac{5\sqrt{29}-5}{6}$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)關系，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．