Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），定義函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）試說明函數(shù)y=f（x）可由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
（4）若函數(shù)f（x）的圖象關于x=x₀對稱，且0＜x₀＜$\frac{π}{2}$，求x₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得出f（x）并用二倍角公式化簡，使用周期公式得出周期；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律得出；
（4）令f（x₀）=±1，結合x₀的范圍求出x₀．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}+2kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+2kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{2π}{3}+2kπ$]．
（3）f（x）=2sin2（x+$\frac{π}{12}$）．
∴f（x）可看做是由y=sin2x的圖象先向左平移$\frac{π}{12}$個單位，再保持橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的2倍得到的．
（4）∵f（x）的圖象關于x=x₀對稱，∴f（x₀）=±1，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x₀=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$．∵0＜x₀＜$\frac{π}{2}$，∴x₀=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．