Question

已知函數(shù)f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，f（x）＞f（2-x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）直接利用函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，判斷導函數(shù)的符號，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（2-x）求出g'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，通過x＞1，判斷g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可證明當x＞1時，f（x）＞f（2-x）；
（Ⅲ）當x₁，x₂都在（-∞，1）或都在（1，+∞）時，通過f（x）是單調(diào)函數(shù)，推出x₁=x₂，這與已知矛盾，說明x₁，x₂一個在（-∞，1）內(nèi)，另一個在（1，+∞）內(nèi)，不妨設x₁＞1，x₂＜1，利用函數(shù)的關系式，證明x₁+x₂＞2．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：f'（x）=（1-x）e^-x
令f'（x）=0，則x=1
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
∴f（x）在x=1處取得極大值

1

e

；                     …（4分）
（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）-f（2-x）
則g（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2
∴g'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
∵x＞1，∴2x-2＞0，∴e^2x-2-1＞0
又∵e^-x＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
又∵g（1）=0∴x＞1時g（x）＞g（1）=0
即當x＞1時，f（x）＞f（2-x）…（8分）
（Ⅲ）證明：當x₁，x₂都在（-∞，1）或都在（1，+∞）時由于f（x）是單調(diào)函數(shù)，
所以x₁=x₂，這與已知矛盾，所以x₁，x₂一個在（-∞，1）內(nèi)，另一個在（1，+∞）內(nèi)
不妨設x₁＞1，x₂＜1，則
由（Ⅱ）知x₁＞1時，f（x₁）＞f（2-x₁），
又f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₂）＞f（2-x₁）
∵x1＞1，  ∴2-x1＜1，∴x₂，2-x₁∈（-∞，1）
∵f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，∴x₂＞2-x₁，∴x₁+x₂＞2…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．