Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且對于任意的x，y∈（0，+∞），恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當f（2）=1時，
①解不等式f（x）+f（x-3）≤2；
②求函數(shù)f（x）在[

2

，4]上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）賦值法，令令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）成立，即可求出f（1）的值．
（Ⅱ）利用定義證明，由f（x₁

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

），結(jié)合條件x＞1時恒有f（x）＞0，利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）①令x=y=2，則f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，原不等式可化為f[x（x-3）]≤f（4），因為函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到不等式組解得即可．
②令x=y=

2

，求得f（

2

）=

1

2

，再由函數(shù)f（x）在[

2

，4]上單調(diào)遞增，f（4）=2，得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
（Ⅱ）證明：令0＜x₁＜x₂＜+∞，當x＞1時，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0
∵f（x₁

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

），
∴f（x₂）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）①令x=y=2，則f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
原不等式可化為f[x（x-3）]≤f（4），
因為函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，
解得3＜x≤4，
故原不等式的解集為（3，4]；
②令x=y=

2

則f（2）=f（

2

）+f（

2

）=1，
∴f（

2

）=

1

2

∵因為函數(shù)f（x）在[

2

，4]上單調(diào)遞增，f（4）=2
∴函數(shù)f（x）在[

2

，4]上的值域[

1

2

，2]

點評：本題給出抽象函數(shù)滿足的條件，求函數(shù)的單調(diào)性并解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)單調(diào)性的證明及其應用、賦值法處理抽象函數(shù)和不等式的解法等知識，屬于中檔題．