Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

3

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且0＜β＜

π

2

＜α＜π．
（1）求cos（2α-β）的值；
（2）求sin

α+β

2

的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用二倍角的余弦公式求得cos（2α-β）的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，sin(α-

β

2

)=

2 2

3

，cos(

α

2

-β)=

5

3

，再利用兩角和的正弦公式求得sin

α+β

2

的值．

解答： 解：（1）cos(2α-β)=cos[2(α-

β

2

)]=2cos2(α-

β

2

)-1=-

7

9

．
（2）∵0＜β＜

π

2

＜α＜π，∴α-

β

2

∈(

π

4

，π)，

α

2

-β∈(-

π

4

，

π

2

)，
又∵cos(α-

β

2

)=-

1

3

，sin(

α

2

-β)=

2

3

，∴sin(α-

β

2

)=

2 2

3

，cos(

α

2

-β)=

5

3

，
∴sin(

α+β

2

)=sin[(α-

β

2

)-(

α

2

-β)]=sin(α-

β

2

)cos(

α

2

-β)-cos(α-

β

2

)sin(

α

2

-β)=

2 2

3

×

5

3

-（-

1

3

）×

2

3

=

2 10 +2

9

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．