Question

2．在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0，a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的求法，討論即可．

解答 解：設(shè)F（x）為X的分布函數(shù)，F(xiàn)（x）=P{X≤x}．
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0，
當(dāng)0≤x≤a時(shí)，按題意P（0≤X≤x）=kx，k是某一常數(shù)，為了確定k，取x=a，得P（0≤X≤a）=ka．因我們只是在區(qū)間[0，a]上投擲質(zhì)點(diǎn)，
所以（0≤X≤a）為必然事件，即有1=P（0≤X≤a）=ka，因此k=$\frac{1}{a}$，
所以F（x）=P（X≤x）=P（X＜0）+P（0≤X≤x）=$\frac{x}{a}$
當(dāng)x＞a時(shí)，按題意P{X≤x}為必然事件，即有F（x）=1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜0}\\{\frac{x}{a}，0≤x≤a}\\{1，x＞a}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)變量的分布函數(shù)，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．