Question

16．求適合下列條件的橢圓的標準方程．
（1）兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10；
（2）經過點P（-2$\sqrt{3}$，1），Q（$\sqrt{3}$，-2）．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10，利用橢圓性質列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系數(shù)法能求出橢圓的標準方程．

解答 解：（1）∵橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），
橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{c=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，c=4，b=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）∵橢圓經過點P（-2$\sqrt{3}$，1），Q（$\sqrt{3}$，-2），
∴設橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
則$\left\{\begin{array}{l}{12m+n=1}\\{3m+4n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{15}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、待定系數(shù)法的合理運用．