Question

10．設(shè)直線y=$\frac{1}{2}$x+2與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求：
（1）以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若OA、OB所在直線的斜率分別是k_OA、k_OB，求k_OA•k_OB的值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用中點坐標(biāo)公式以及兩點間的距離公式求出半徑和圓心即可得到結(jié)論．
（2）求出對應(yīng)的斜率，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系代入進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）將直線y=$\frac{1}{2}$x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-4x-14=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，x₁x₂=-14，
則AB的中點C的橫坐標(biāo)x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{4}{2}=2$，縱坐標(biāo)y=$\frac{1}{2}×2+2=1+2=3$，即圓心C（2，3），
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）×（16+4×14）}$=$\sqrt{\frac{5}{4}×72}$=3$\sqrt{10}$，
則半徑R=$\frac{1}{2}|AB|=\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-3）²=$\frac{45}{2}$．
（2）若OA、OB所在直線的斜率分別是k_OA、k_OB，
則k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
則k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+2）（\frac{1}{2}{x}_{2}+2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-14×\frac{1}{4}+4+4}{-14}$=-$\frac{9}{28}$．

點評 本題主要考查直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．