Question

11．設(shè)M，N是拋物線y²=4x上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，過(guò)點(diǎn)A（4，0）作MN的垂線與拋物線交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，則四邊形MPNQ面積的最小值為（　�。�

• A． 80
• B． 100
• C． 120
• D． 160

Answer 1

分析 設(shè)直線MN的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，可求t的值，即可求出|MN|關(guān)于m的表達(dá)式，同理求出|PQ|關(guān)于m的表達(dá)式，于是S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|，利用換元法求出S的最小值．

解答 解設(shè)直線MN方程為x=my+t，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²-4my-4t=0，
設(shè)M（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=0，即y₁y₂=0（舍）或y₁y₂=-16．
∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+64}$．
∵PQ⊥MN，且PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），∴直線PQ的方程為x=-$\frac{1}{m}y+4$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{m}y+4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²+$\frac{4}{m}y$-16=0．
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則y₃+y₄=-$\frac{4}{m}$，y₃y₄=-16．
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{（{y}_{3}+{y}_{4}）^{2}-4{y}_{3}{y}_{4}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+64}$．
∴四邊形MPNQ面積S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+64}$$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+64}$=8$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{{m}^{2}+4}$$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}+4}$
=8$\sqrt{（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+2）[4（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）+17]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=t，則t≥2，
∴S=8$\sqrt{（t+2）（4t+17）}$=8$\sqrt{4{t}^{2}+25t+34}$．∴S（t）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S取得最小值8$\sqrt{4×{2}^{2}+25×2+34}$=80．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．