Question

8．某省去年高三100000名考生英語成績服從正態(tài)公布N（85，225），現(xiàn)隨機抽取50名考生的成績，發(fā)現(xiàn)全部介于[30，150]之間，將成績按如下方式分成6組：第一組[30，50），第二組[50，70），…第6組[130，150]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估算該50名考生成績的眾數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）求這50名考生成績在[110，150]內的人中分數(shù)在130分以上的人數(shù)．
（Ⅲ）從這50名考生成績在[110，150]的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到后）在全省前130名的人數(shù)記為X．求X的數(shù)學期望
（參考數(shù)據(jù)：若X～N（u，δ²）
則P（u-δ＜X≤u+δ）=0.6826
P（u-2δ＜X≤u+2δ）=0.9544
P（u-3δ＜X≤u+3δ）=0.9974）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出該50名考生成績的眾數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出后兩組頻率及人數(shù)，從而成績在[110，150]的人數(shù)為10人，P（x≥130）=0.0013．由此能求出這50名考生成績在[110，150]內的人130分以上的人數(shù)．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知該50名考生成績的眾數(shù)為：$\frac{70+90}{2}$=80，
中位數(shù)為：70+$\frac{0.5-0.004×20-0.01×20}{0.016}$=83.75．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為：（0.006+0.004）×20=0.2，
人數(shù)為0.2×50=10，
則成績在[110，150]的人數(shù)為10人，
P（85-3×15＜x＜85+3×15）=0.9974，
∴P（x≥130）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013．
∴0.0013×10⁵=130人，則該省前功盡棄30名的成績在130分以上，
∴該50人中，130分以上的有0.08×50=4人．
∴這50名考生成績在[110，150]內的人130分以上的人數(shù)有4人．
（Ⅲ）∵從這50名考生成績在[110，150]的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到后）在全省前130名的人數(shù)記為X，
∴X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

E（X）=$0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查正態(tài)分布的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．