Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C的圓心在x正半軸上，半徑為2，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切
（1）求圓C的方程
（2）在圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），則2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，求出a=2，由此能求出圓C的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，n）在圓C上滿足題設(shè)，則有（m-2）²+n²=4．且0≤m≤4，原點(diǎn)到直線l：mx+ny=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，|AB|=2$\sqrt{1-snxblah^{2}}$，由此能求出存在點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積取最大值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵圓C的圓心在x正半軸上，半徑為2，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切，
∴設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），則2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，
由a＞0，解得a=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，n）在圓C上滿足題設(shè)，
則有（m-2）²+n²=4．
n²=4-（m-2）²=4m-m²，且0≤m≤4，
又∵原點(diǎn)到直線l：mx+ny=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，
解得$\frac{1}{4}＜m≤4$，
∵|AB|=2$\sqrt{1-ihcz03k^{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\sqrt{vej8ifa^{2}-xedn06m^{4}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∵$\frac{1}{16}≤\frac{1}{4m}＜1$，∴當(dāng)$\frac{1}{4m}=\frac{1}{2}$時(shí)，S_△OAB有最大值，最大面積為$\frac{1}{2}$，
此時(shí)n=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴存在點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積取最大值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．