Question

6．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x+1）²+（y-1）²=2，直線l過點(diǎn)（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）已知射線OM與曲線C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓C的直角坐標(biāo)方程，能求出圓C的極坐標(biāo)方程；先求出直線的直角坐標(biāo)方程，由此能出直線的極坐標(biāo)方程．
（2）把θ=$\frac{3π}{4}$代入圓C和直線l，能求出P、Q的坐標(biāo)，由此能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）∵曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴x²+y²+2x-2y=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即ρ+2cosθ-2sinθ=0，即$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
∵直線l過點(diǎn)（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=$\frac{1}{2}$（x+1），即x-2y+1=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）∵射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{3π}{4}$．射線OM與曲線C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，
∴當(dāng)$θ=\frac{3π}{4}$時，|OP|=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
|OQ|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（$\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{3π}{4}$），
∴線段PQ的長為：2$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．