Question

20．已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求AD⊥CE．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，可以利用向量的數(shù)量或直線的斜率即可證明．

解答 解：方法一：以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，
設(shè)CA=CB=2，
則CD=1，
∴C（0，0），D（0，1），A（2，0），B（0，2），
∵AE=2EB，
根據(jù)三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$-$\frac{4}{3}$=0，
∴$\overrightarrow{CE}$⊥$\overrightarrow{AD}$，
∴AD⊥CE，
方法二，以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，
設(shè)CA=CB=2，
則CD=1，
∴C（0，0），D（0，1），A（2，0），B（0，2），
∵AE=2EB，根據(jù)三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴k_CE=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=2，kAD=$\frac{0-1}{2-0}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k_CE•k_AD=-1，
∴AD⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用向量和斜率的關(guān)系求證直線垂直的問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．