Question

12．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}}&{（x≤0）}\\{x+\frac{1}{x}+a}&{（x＞0）}\end{array}\right.$的最小值為f（0），則實數(shù)a的取值范圍（　　）

• A． [-1，2]
• B． [-1，0]
• C． [1，2]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由分段函數(shù)分別討論函數(shù)在不同區(qū)間上的最值，從而可得2+a≥a²，又a≥0，從而解得a的范圍．

解答 解：當x＞0時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a≥2+a；
（當且僅當x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，等號成立）；
故當x=1時取得最小值2+a，
∵f（0）是函數(shù)f（x）的最小值，
∴當x≤0時，f（x）=（x-a）²單調(diào)遞減，
故a≥0，
此時的最小值為f（0）=a²，
故2+a≥a²，
解得，-21≤a≤2．
又a≥0，可得0≤a≤2．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及分段函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．