Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，如果橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F₁的距離的最大值是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，短軸一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F₂的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F₂且斜率為1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₁的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為c，從而可得$a=\sqrt{3}$，b=1，$c=\sqrt{2}$；
（2）設(shè)直線l的方程為$x=y+\sqrt{2}$，聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=y+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$化簡，結(jié)合韋達(dá)定理求解．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，
故$a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$a=\sqrt{3}$，
∴b=1，$c=\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為$x=y+\sqrt{2}$，
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=y+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，
化簡得$4{y^2}+2\sqrt{2}y-1=0$，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得${y_1}+{y_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{y_1}{y_2}=-\frac{1}{4}$．
故△ABF₁的面積
S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．