Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點O為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求橢圓C與直線y=kx（k＞0）在第一象限的交點為A．
①設(shè)$B（{\sqrt{2}，1}）$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{6}$，求k的值；
②若A與D關(guān)于x的軸對稱，求△AOD的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得圓O的方程，運用直線和相切的條件：d=r，求得b，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得交點A的坐標(biāo)，①運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求值；
②由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題設(shè)可知，圓O的方程為x²+y²=b²，
因為直線l：x-y+2=0與圓O相切，故有$\frac{|2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=b$，
所以$b=\sqrt{2}$．                                                                
因為$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以有a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．                                             
（2）設(shè)點A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀．
由$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k{x_0}\\ \frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}\\{y_0}=\frac{{\sqrt{6}k}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}.\end{array}\right.$，
①∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}+\frac{{\sqrt{6}k}}{{\sqrt{2+3{k^2}}}}=\sqrt{6}$，∴$k=\sqrt{2}$（k=0舍去）．             
②∵${S_{△AOD}}=\frac{1}{2}{x_0}×2{y_0}=kx_0^2=\frac{6k}{{2+3{k^2}}}=\frac{6}{{\frac{2}{k}+3k}}≤\frac{6}{{2\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)$k=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$時取等號），
∴S_△AOD的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和直線與圓相切的條件：d=r，同時考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式求最值的方法，屬于中檔題．