Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-2sin²x（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的單凋遞減區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）化簡三角函數(shù)解析式為2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1+a，根據(jù)周期的定義求出即可，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間，
（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值，得到a的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-2sin²x，
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$+cos2x-1+a，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1+a，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1+a，
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)的單凋遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x） 在[0，$\frac{π}{6}$]為單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（0）=a，f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{6}$）-1+a=-2+a，
∴最小值為-2+a，
∵f（x）的最小值為-2，
∴-2+a=-2，
∴a=0．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及性質(zhì)的運用；首先要利用三角函數(shù)的公式化簡解析式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用其性質(zhì)求周期及最值等，屬于中檔題．