Question

8．己知f（x）與g（x）的定義域相同，且恒有f（-x）+f（x）=0，g（-x）g（x）=1，又g（x）=1的解集為{0}
（1）判斷函數(shù)F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）的奇偶性；
（2）若xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]的最大值和最小值分別為M和m，求M+m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和最值之間的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∵g（x）=1的解集為{0}，∴g（0）=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，g（x）≠1，
則F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）=f（x）（$\frac{2}{g（x）-1}+1$）=f（x）•$\frac{2+g（x）-1}{g（x）-1}$=f（x）•$\frac{g（x）+1}{g（x）-1}$，
由g（x）≠1，得x≠0，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
則F（-x）=f（-x）•$\frac{g（-x）+1}{g（-x）-1}$=-f（x）•$\frac{g（-x）+g（x）g（-x）}{g（-x）-g（x）g（-x）}$=-f（x）•$\frac{1+g（x）}{1-g（x）}$=f（x）•$\frac{g（x）+1}{g（x）-1}$=F（x），
則函數(shù)F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)h（x）=xF（x）+3，則h（x）-3=xF（x）為減函數(shù)，
則 當(dāng)h（x）=xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]取得最大值和最小值時(shí)，h（x）-3=xF（x）也取得最大值和最小值，
則[xF（x）]_max+[xF（x）]_min=0，
即M-3+N-3=0，即M+N=6

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)最值的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合函數(shù)最值和奇偶性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．