Question

8．由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時間x的關系，可近似地表示為y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{16}{x+2}-x+8，0≤x≤2}\\{4-x，2＜x≤4}\end{array}\right.$．只有當河流中堿的濃度不低于1時，才能對污染產生有效的抑制作用．
（1）判斷函數的單調性（不必證明）；
（2）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？
（3）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

Answer 1

分析 （1）結合對勾函數和一次函數的圖象和性質，可得結論；
（2）分類討論滿足y≥1的x范圍，綜合討論結果，可得答案；
（3）根據已知求出函數的解析式，分析其單調性后，可得函數的最值．

解答 解：（1）函數在[0，2]上單調遞增，在（2，4]上單調遞減；…（2分）
（2）解$\left\{\begin{array}{l}-\frac{16}{x+2}-x+8≥1\\ 0≤x≤2\end{array}\right.$得：$\frac{5-\sqrt{17}}{2}≤x≤2$--------（4分）
解$\left\{\begin{array}{l}4-x≥1\\ 2＜x≤4\end{array}\right.$得：2＜x≤3…（5分）
綜上可得$\frac{5-\sqrt{17}}{2}≤x≤3$…（6分）
即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為$3-\frac{5-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$…（7分）
（3）由（1）知，當0≤x≤2時，y=$-\frac{16}{x+2}-x+8$單調遞增
當2＜x≤4時，y=4-x單調遞減
所以當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，
即2＜x≤4時，
y=4-x+$[-\frac{16}{（x-2）+2}-（x-2）+8]$=14-（2x+$\frac{16}{x}$）…（10分）
記$f（x）=2x+\frac{16}{x}$，
下面用單調函數的定義證明f（x）在$（2，2\sqrt{2}）$上單調遞減，$（2\sqrt{2}，4）$上單調遞增．
對任意x₁，x₂滿足，$2＜{x_1}＜{x_2}＜2\sqrt{2}$，
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_1}）=（2{x_1}+\frac{16}{x_1}）-（2{x_2}+\frac{16}{x_2}）\\=（{x_1}-{x_2}）\frac{{2{x_1}{x_2}-16}}{{{x_1}{x_2}}}＞0\end{array}$
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）在$（2，2\sqrt{2}）$上單調遞減，同理可證，f（x）在$（2\sqrt{2}，4）$上單調遞增．
故當且僅當$2x=\frac{16}{x}$，即x=2$\sqrt{2}$時，
$f{（x）_{min}}=f（2\sqrt{2}）=8\sqrt{2}$，
所以y有最大值14-8$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，基本不等式，難度中檔．