Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x+a，若函數(shù)y=f（f（x））有且只有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，[f（x）]²+2f（x）+a=0有2個(gè)根，
判別式△=0，即4-4a=0，解得a=1，f（x）=-1，x²+2x+1=-1，有2個(gè)根，滿足題意；
判別式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，則
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值為a-1，
∴（a-1+1）²+a-1＜0
∴$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
綜上，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．
故答案為：$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，正確分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．