Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥7的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，根據(jù)函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-2|的意義，求得不等式f（x）≥7的解集．
（Ⅱ）由題意可得，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，|x+a|≤|x-4|-|x-2|恒成立，等價(jià)于-2-a≤x≤2-a，根據(jù)-2-a≤0，2-a≥2，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-3、2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-4和3對應(yīng)點(diǎn)到-3、2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于7，
故不等式f（x）≥7的解集為{x|x≤-4 或x≥3}．
（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，即當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，|x+a|+|x-2|≤|x-4|恒成立，
即|x+a|≤|x-4|-|x-2|恒成立，
等價(jià)于-2-a≤x≤2-a．
由題意可得，-2-a≤0，2-a≥2，求得-2≤a≤0．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．