Question

7．點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是$\frac{4}{9}$，則點M的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{{9{y^2}}}{100}=1（x≠±5）$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{{100{y^2}}}{9}=1（x≠±5）$
• C． $\frac{x^2}{25}-\frac{{9{y^2}}}{100}=1（y≠0）$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{{100{y^2}}}{9}=1（y≠0）$

Answer 1

分析 設(shè)出點M的坐標，表示出直線AM、BM的斜率，進而求出它們的斜率之積，利用斜率之積是$\frac{4}{9}$，建立方程，去掉不滿足條件的點，即可得到點M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M（x，y），因為A（-5，0），B（5，0）
所以k_AM=$\frac{y}{x+5}$（x≠-5），k_BM=$\frac{y}{x-5}$（x≠5）
由已知，$\frac{y}{x+5}•\frac{y}{x-5}$=$\frac{4}{9}$
化簡，得4x²-9y²=100（x≠±5）
即：$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{9{y}^{2}}{100}=1（y≠0）$．
故選：C．

點評 本題重點考查軌跡方程的求解，解題的關(guān)鍵是正確表示出直線AM、BM的斜率，利用條件建立方程．