3．x＞0，y＞0且滿足x+y=6，則使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{8}{3}$]．

分析 不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥m恒成立，得出m≤（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）min，利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y=6，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=$\frac{1}{6}$×（x+y）×（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=$\frac{1}{6}$×（10$+\frac{y}{x}$$+\frac{9x}{y}$）≥$\frac{1}{6}$×（10+2$\sqrt{9}$）=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$，當且僅當y=3x時取等號．
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）min=$\frac{8}{3}$
不等式（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）≥m恒成立時，m$≤\frac{8}{3}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{8}{3}$]．

點評 本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題

練習冊系列答案
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