Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+x²+ax+b
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求得原函數(shù)的極值，最后要使g（x）=x³+x²+b的其圖象和x軸恰有2個(gè)交點(diǎn)，得到關(guān)于b的方程，從而求實(shí)數(shù)b的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，令f′（x）＜0，解得-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，$\frac{1}{3}$）；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=ax恰有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，
所以方程x³+x²+ax+b-ax=0恰有2個(gè)不同的解，
即函數(shù)g（x）x³+x²+b的圖象與x軸恰有2個(gè)交點(diǎn)，
g′（x）=3x²+2x，令g′（x）=3x²+2x=0，所以x₁=0，x₂=-$\frac{2}{3}$，
可列表：

∴g（x）在x₁=0處取得極小值b，在x₂=-$\frac{2}{3}$取得極大值$\frac{4}{27}$+b，
要使g（x）=x³+x²+b的其圖象和x軸恰有2個(gè)交點(diǎn)，
只需g（x）_極小值=0，或g（x）_極大值=0，
∴b=0或b=-$\frac{4}{27}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想