Question

【題目】已知函數(shù)， 的圖象在處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)；單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞),所以函數(shù)f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝2;(2) k的最小值為0.

【解析】試題分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的切點(diǎn)，

⑵要滿足，分類含參量得

構(gòu)造，求得的最小值即可

解析：(Ⅰ)f′(x)＝2ex＋6x－2，

因?yàn)?/span>f′(0)＝a，所以a＝0，

易得切點(diǎn)(0，2)，所以b＝－1.

易知函數(shù)f′(x)在R上單調(diào)遞增，且f′(0)＝0.

則當(dāng)x<0時，f′(x)＜0；當(dāng)x＞0時，f′(x)＞0.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)；單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．

所以函數(shù)f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝2.

(Ⅱ)f(x)－2x2－3x－2－2k≤0ex＋x2－x－1－k≤0k≥ex＋x2－x－1，　(*)

令h(x)＝ex＋x2－x－1，

若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式(*)成立，則k≥h(x)min，

h′(x)＝ex＋x－，易知h′(x)在R上單調(diào)遞增，

又h′(0)＝－<0，h′(1)＝e－>0，h′＝e－2<0，h′＝e－>2.56－＝1.6－＝－>2－＝>0，

所以存在唯一的x0∈，使得h′(x0)＝0，

且當(dāng)x∈(－∞，x0)時，h′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)在(－∞，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，

h(x)min＝h(x0)＝ex0＋x20－x0－1，

又h′(x0)＝0，即ex0＋x0－＝0，

所以ex0＝－x0.

所以

因?yàn)?/span>x0∈，

所以h(x0)∈，

則k≥h(x0)，又k∈Z.

所以k的最小值為0.