【題目】如圖,在三棱柱中,平面平面,,為的中點(diǎn).
(1)若,求證:平面;:
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:(1)由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面A1ACC1,進(jìn)而證得BEA1C,又,所以平面;
(2)先證得A1E平面ABC,進(jìn)而以E點(diǎn)為原點(diǎn),分別以射線EB,EC,EA1為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得面和面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值即可.
試題解析:
(Ⅰ)證明:因?yàn)?/span>BA=BC,E為AC的中點(diǎn),所以BEAC,
又平面A1ACC1平面ABC,平面A1ACC1平面ABC=AC,平面ABC,
所以BE平面A1ACC1,
又A1C平面A1ACC1,所以BEA1C,又BC1A1C,BEBC1=B,
所以A1C平面C1EB
(Ⅱ)連接A1E,因?yàn)?/span>A1A=A1C,又E為AC的中點(diǎn),
所以A1EAC,
又平面A1ACC1平面ABC,
平面A1ACC1平面ABC=AC,A1E平面A1ACC1,
所以A1E平面ABC,
以E點(diǎn)為原點(diǎn),分別以射線EB,EC,EA1為
軸,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,
所以,,,
設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量
得 ,取得,
設(shè)平面C1EB的一個(gè)法向量為,
得 ,取得, ,
故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形, , ,
,點(diǎn)在線段上,且, , 平面.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí),求四棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 的圖象在處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若存在實(shí)數(shù),使得成立,求整數(shù)的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)探究函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信是當(dāng)前主要的社交應(yīng)用之一,有著幾億用戶,覆蓋范圍廣,及時(shí)快捷,作為移動(dòng)支付的重要形式,微信支付成為人們支付的重要方式和手段。某公司為了解人們對(duì)“微信支付”認(rèn)可度,對(duì)年齡段的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次“你是否喜歡微信支付”的問卷調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組號(hào) | 分組 | 喜歡微信支付的人數(shù) | 喜歡微信支付的人數(shù) 占本組的頻率 |
第一組 | |||
第二組 | |||
第三組 | |||
第四組 | |||
第五組 | |||
第六組 |
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求, , 的值;
(2)在第四、五、六組“喜歡微信支付”的人中,用分層抽樣的方法抽取人參加“微信支付日鼓勵(lì)金”活動(dòng),求第四、五、六組應(yīng)分別抽取的人數(shù);
(3)在(2)中抽取的人中隨機(jī)選派人做采訪嘉賓,求所選派的人沒有第四組人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 是橢圓上一點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,試求點(diǎn)到直線的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行,乘坐地鐵,地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策,不超過站的地鐵票價(jià)如下表:
乘坐站數(shù) | |||
票價(jià)(元) |
現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過站.甲、乙乘坐不超過站的概率分別為, ;甲、乙乘坐超過站的概率分別為, .
(1)求甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖.空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;
(Ⅱ)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過中央電視臺(tái)《魅力中國(guó)城》欄目的三輪角逐,黔東南州以三輪競(jìng)演總分排名第一名問鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計(jì)了黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)(萬(wàn)人次)的變化情況,從一個(gè)側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個(gè)圖表,在下列給出的黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)的四個(gè)判斷中,錯(cuò)誤的是( )
A. 旅游總?cè)藬?shù)逐年增加
B. 2017年旅游總?cè)藬?shù)超過2015、2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和
C. 年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)
D. 從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)加快
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