【題目】求滿足如下條件的最小正整數(shù)：在的圓周上任取個點，則在個中，至少有2007個不超過.

【答案】91

【解析】

首先，當(dāng)時，如圖，設(shè)是的直徑，在點 和的附近分別取45個點，此時，只有個角不超過 .所以，不滿足題意.

其次，當(dāng)時，接下來證明：至少有2007個角不超過.

對圓周上的91個點，若 ，則聯(lián)結(jié) ，這樣就得到一個圖.設(shè)圖中有條邊.

當(dāng)， 時，，故圖中沒有三角形.

若，則有個角不超過，命題得證.

若，不妨設(shè)、之間有邊相連，因為圖中沒有三角形，所以，對于點 ，它至多與、中的一個有邊相連.從而， ，其中，表示從 處引出的邊數(shù).又，而對圖中每一條邊的兩個頂點、 ，都有.

于是，上式對每一條邊求和可得.

由柯西不等式得

.

故 ，.

因此，91個頂點中，至少有個點對，它們之間沒有邊相連.從而，對應(yīng)的頂點所對應(yīng)的角不超過 .

綜上所述，的最小值為91.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定平面上的五個點A、B、C、D、E，任意三點不共線.由這些點連成4條線，每點至少是一條線段的端點，不同的聯(lián)結(jié)方式有 種.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求該函數(shù)的最大值；

（2）是否存在實數(shù)，使得該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為？若存在，求出對應(yīng)的值；若不存在，試說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（ ）

A.先向左平移個單位，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）

B.先向左平移個單位，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）

C.每個點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位

D.每個點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，．

求的單調(diào)區(qū)間；

對，使成立，求實數(shù)m的取值范圍；

設(shè)在上有唯一零點，求正實數(shù)n的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面a內(nèi)作菱形ABCD,邊長為1,∠BAD=60°，再在a的上方，分別以△ABD與△CBD為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB=90°.

（1）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（2）求點P到平面QBD的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三角形中，邊和所在的直線方程分別為和，的中點為.

（1）求的坐標；

（2）求角的內(nèi)角平分線所在直線的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案