【題目】如圖,已知焦點在x軸上的橢圓 =1(b>0)有一個內(nèi)含圓x2+y2= ,該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M,N,且 ⊥ (O為原點).
(1)求b的值;
(2)設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.求證: ,并求| |的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)MN⊥x軸時,MN的方程是x=± ,
設(shè)M(± ,y1),N(± ,﹣y1),
由 ⊥ 知|y1|= ,
即點( , )在橢圓上,代入橢圓方程得b=2
(2)證明:當(dāng)l⊥x軸時,由(1)知 ;
當(dāng)l不與x軸垂直時,設(shè)l的方程是:y=kx+m,即kx﹣y+m=0
則 = ,即3m2=8(1+k2)
y=kx+m代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)= (4k2+1)>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
則x1+x2= ,x1x2= ,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= =0,即 .
即橢圓的內(nèi)含圓x2+y2= 的任意切線l交橢圓于點A、B時總有 .
當(dāng)l⊥x軸時,易知|AB|=2 =
當(dāng)l不與x軸垂直時,|AB|= =
設(shè)t=1+2k2∈[1,+∞), ∈(0,1]
則|AB|= =
所以當(dāng) = 即k=± 時|AB|取最大值2 ,
當(dāng) =1即k=0時|AB|取最小值 ,
綜上|AB|∈
【解析】(1)設(shè)出M,N的坐標(biāo),利用 ⊥ 知|y1|= ,即點( , )在橢圓上,代入橢圓方程,即可求b的值;(2)分類討論,當(dāng)l⊥x軸時,由(1)知 ;當(dāng)l不與x軸垂直時,設(shè)l的方程是:y=kx+m,代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,利用韋達(dá)定理證明x1x2+y1y2=0即可,利用弦長公式,結(jié)合換元、配方法,即可確定|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1﹣4m) 在[0,+∞)上是增函數(shù),則m= , a= .
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【題目】在20世紀(jì)30年代,地震科學(xué)家制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是利用測震儀衡量地震的能量等級,等級M與地震的最大振幅A之間滿足函數(shù)關(guān)系M=lgA﹣lgA0 , (其中A0表示標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅)
(1)假設(shè)在一次4級地震中,測得地震的最大振幅是10,求M關(guān)于A的函數(shù)解析式;
(2)地震的震級相差雖小,但帶來的破壞性很大,計算8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=1﹣ ,g(x)=ln(ax2﹣3x+1),若對任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,則實數(shù)a的最大值為( )
A.2
B.
C.4
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC
(1)求角C大;
(2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值時角A,B的大。
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生.某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司M的經(jīng)營狀況,對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制了相應(yīng)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系.求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測M公司2017年4月份的市場占有率;
(Ⅱ)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場,公司擬再采購一批單車.現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A、B兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛報廢年限各不相同.考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益,該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下:
車型 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 總計 |
A | 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
B | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
經(jīng)測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元.不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年,且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率.如果你是M公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款車型?
參考數(shù)據(jù): , .
參考公式:
回歸直線方程為其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為AB中點,F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心.
(1)求直線EF與平面ABCD所成角的正切值;
(2)求異面直線A1C與EF所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為選拔選手參加“中國謎語大會”,某中學(xué)舉行了一次“謎語大賽”活動.為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計.按照, , , , 的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在, 的數(shù)據(jù)).
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3
名學(xué)生參加“中國謎語大會”,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3名學(xué)生中得分在內(nèi)的學(xué)生人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B,點A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,若=,=48,則拋物線的方程為( )
A.y2=4x
B.y2=8x
C.y2=16x
D.y2=4X
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