Question

2．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；
（1）求（$\sqrt{x}$•$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展開式中所有的有理項(xiàng)；
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件求得n=8，可得（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，可得展開式中所有的有理項(xiàng)．
（2）根據(jù)（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁸展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）由題意可得2×${C}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，求得n=8，或n=1（舍去），
故（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$．
令4-$\frac{3r}{4}$為整數(shù)，可得r=0，4，8，
故有理項(xiàng)為T₁=x⁴；T₅=${C}_{8}^{4}$•$\frac{1}{16}$x=$\frac{35}{8}$x；T₉=$\frac{1}{256}$x^-2．
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁸展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，
再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}•{|（-2）}^{r}|{≥C}_{8}^{r-1}{•|（-2）}^{r-1}|}\\{{C}_{8}^{r}•{|（-2）}^{r}|{≥C}_{8}^{r+1}•{|（-2）}^{r+1}|}\end{array}\right.$，求得5≤r≤6，故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為 T₆=1792${x}^{\frac{17}{2}}$，T₇=1792x^-11．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．