Question

（12分）已知函數(shù)（是不為零的實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線與有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，求此時的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）當時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞減.

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，注意這個點的切點的位置. （2）第二問關鍵是利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系把所求問題轉化為求函數(shù)的其它問題.（3）若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調遞增（減），求參數(shù)問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：（1）設曲線與有共同切線的公共點為，則．

又曲線與在點處有共同切線，且，，

∴，

解得 ．

（2）由得函數(shù)，

所以

．

又由區(qū)間知，，解得，或．

①當時，由，得，即函數(shù)的單調減區(qū)間為，要使得函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，則有

解得

②當時，由，得，或，即函數(shù)的單調減區(qū)間為和，

要使得函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，則有

，或，

這兩個不等式組均無解.

綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞減.

考點：（1）求切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性求參量的問題.