Question

（12分）已知函數(shù)（是不為零的實(shí)數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線與有公共點(diǎn)，且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時(shí)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn)的位置. （2）第二問關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的其它問題.（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：（1）設(shè)曲線與有共同切線的公共點(diǎn)為，則．

又曲線與在點(diǎn)處有共同切線，且，，

∴，

解得 ．

（2）由得函數(shù)，

所以

．

又由區(qū)間知，，解得，或．

①當(dāng)時(shí)，由，得，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有

解得

②當(dāng)時(shí)，由，得，或，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，

要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有

，或，

這兩個(gè)不等式組均無解.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

考點(diǎn)：（1）求切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參量的問題.