Question

13．從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)向各邊引垂線，其長度分別為d₁，d₂，d₃，且相應(yīng)各邊上的高分別為h₁，h₂，h₃，求證：$\frac{0f0zgwe_{1}}{{h}_{1}}$+$\frac{x0t73je_{2}}{{h}_{2}}$+$\frac{g8xulry_{3}}{{h}_{3}}$=1．類比以上性質(zhì)，給出空間四面體的一個(gè)猜想，并給出證明．

Answer 1

分析 利用$\frac{d683plq_{1}}{{h}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•cngmkdx_{1}}{\frac{1}{2}•BC•{h}_{1}}$=$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△ABC}}$，相加即得結(jié)論；對于空間四面體利用同底棱錐的體積等于高的比計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：∵$\frac{9f38wg0_{1}}{{h}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•yksbu8y_{1}}{\frac{1}{2}•BC•{h}_{1}}$=$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△ABC}}$，
同理，$\frac{ur7y5g9_{2}}{{h}_{2}}$=$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△ABC}}$，$\frac{an2pfvp_{3}}{{h}_{3}}$=$\frac{{S}_{△MAC}}{{S}_{△ABC}}$，
∴$\frac{70gbhop_{1}}{{h}_{1}}$+$\frac{holltsz_{2}}{{h}_{2}}$+$\frac{yupwrir_{3}}{{h}_{3}}$=$\frac{{S}_{△MBC}+{S}_{△MAB}+{S}_{△MAC}}{{S}_{△ABC}}$=1．
類比以上性質(zhì)，給出空間四面體的一個(gè)猜想：
從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線，其長度分別為d₁，d₂，d₃，d₄，
且相應(yīng)各面上的高分別為h₁，h₂，h₃，h₄，求證：$\frac{tunweiv_{1}}{{h}_{1}}$+$\frac{2foumdv_{2}}{{h}_{2}}$+$\frac{fr36tyo_{3}}{{h}_{3}}$+$\frac{amto9ul_{4}}{{h}_{4}}$=1．
證明：∵$\frac{s8vsqjc_{1}}{{h}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•h7nrytq_{1}}{\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•{h}_{1}}$=$\frac{{V}_{M-BCD}}{{V}_{A-BCD}}$，
同理，$\frac{5ic6hc7_{2}}{{h}_{2}}$=$\frac{{V}_{M-ACD}}{{V}_{A-BCD}}$，$\frac{uhcjbrk_{3}}{{h}_{3}}$=$\frac{{V}_{M-ABD}}{{V}_{A-BCD}}$，$\frac{o5ehjl9_{4}}{{h}_{4}}$=$\frac{{V}_{M-ABC}}{{V}_{A-BCD}}$，
∴$\frac{pmyt74m_{1}}{{h}_{1}}$+$\frac{6k9qv0i_{2}}{{h}_{2}}$+$\frac{m0tpmk0_{3}}{{h}_{3}}$+$\frac{3h0rbjr_{4}}{{h}_{4}}$=$\frac{{V}_{M-BCD}+{S}_{M-ACD}+{S}_{M-ABD}+{S}_{M-ABC}}{{V}_{A-BCD}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查類比推理，涉及三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．