Question

1．已知m≠0，設x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+2mx+m²-2=0的兩個不等實數(shù)根，那么隨著m的變化，對于過兩點A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線與圓x²+（y-3）²=$\frac{1}{2}$的位置關(guān)系，下列描述正確的是（　�。�

• A． 一定相離
• B． 一定相切
• C． 當m＞0時直線與圓相離，當m＜0時直線與圓相交
• D． 當|m|＜$\sqrt{2}$時直線與圓相離，當|m|＞$\sqrt{2}$時直線與圓相交

Answer 1

分析 先確定兩點A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，x₁+x₂=-2m，x₁x₂=m²-2，
過兩點A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線方程為y-x₁²=-2m（x-x₁），
即2mx+y-x₁²-2mx₁=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|3-{{x}_{1}}^{2}-2m{x}_{1}|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$=$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$，
∵（$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$）²-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{2{m}^{4}+1}{8{m}^{2}+2}$＞0，
∴$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴過兩點A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線與圓x²+（y-3）²=$\frac{1}{2}$一定相離，
故選：A．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，確定直線方程是關(guān)鍵．