Question

12．某人上一段有9級的樓梯，如果一步可以上一級，也可以上二級或三級，則他共有多少種不同的上樓方法？
（提示：設(shè)按照一步可以上一級，也可以上二級或三級的方法走到第n級階梯時的不同上樓方法有a_n種．先寫出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，再計算a₉．）

Answer 1

分析 按照一步可以上一級，也可以上二級或三級的方法求出上1級、2級、3級、4級樓梯的方法種數(shù)，歸納可得a_n+3=a_n+2+a_n+1+a_n，由此可得上9級樓梯的所有方法種數(shù)．

解答 解：若只上1級樓梯，上法a₁=1（種）；
若上2級樓梯，上法a₂=2（種）（一步一級或一步兩級）；
若上3級樓梯，上法a₃=4（種）（一步一級或第一步一級第二步兩級或第一步兩級第二步一級或一步三級）；
若上4級樓梯，上法a₄=7（種）（分第一步上一級，第一步上兩級、第一步上三級三類辦法求解），則有a₄=a₃+a₂+a₁=4+2+1=7（種）；
同理a₅=a₄+a₂+a₃=13（種）；
a₆=a₅+a₄+a₃=24（種）；
a₇=a₆+a₅+a₄=44（種）；
a₈=a₇+a₆+a₅=81（種）；
a₉=a₈+a₇+a₆=149（種）．

點評 本題考查加法原理和乘法原理，考查了數(shù)列遞推式的確定，屬中檔題．