Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，點(diǎn)P，Q分別為函數(shù)y=f（x）圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（$\frac{A}{π}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求角C的大小．

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件求得A的值，利用正弦定理求得B的值，利用三角形的內(nèi)角和求得C的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，
∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cosωx．
∵點(diǎn)P，Q分別為函數(shù)y=f（x）圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{（\frac{π}{ω}）}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，∴ω=π，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cosπx．
（2）∵a=1，b=$\sqrt{2}$，f（$\frac{A}{π}$）=$\frac{1}{2}$cos（π•$\frac{A}{π}$）=$\frac{1}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
△ABC中，由正弦定理可得$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，求得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$ 或B=$\frac{3π}{4}$．
當(dāng)B=$\frac{π}{4}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，當(dāng)B=$\frac{3π}{4}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．