Question

10．已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點$A（{5\sqrt{2}，0}），B（{0，5}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m，n＞0，m≠n），代入點的坐標(biāo)，解得m，n，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），運用焦點坐標(biāo)，以及直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m，n＞0，m≠n），
由題意可得50m=1，25n=1，
解得m=$\frac{1}{50}$，n=$\frac{1}{25}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得a²+b²=25，
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓M：x²+（y-5）²=9的圓心為（0，5），半徑為3．
由直線和圓相切的條件：d=$\frac{|5a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=3，
解得a=3，b=4，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查雙曲線的方程的求法，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．