19.已知點(diǎn)A(1,0),若點(diǎn)B是曲線y=f(x)上的點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在曲線y=g(x)上,則稱點(diǎn)B是函數(shù)y=f(x)關(guān)于函數(shù)g(x)的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,已知f(x)=|log2x|,g(x)=($\frac{1}{2}$)x,則函數(shù)f(x)關(guān)于函數(shù)g(x)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

分析 設(shè)B的坐標(biāo),求出A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)C,利用C在g(x)上,建立方程關(guān)系,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 進(jìn)行求解即可.

解答 解:令點(diǎn)B(x,|log2x|),x>0,
A,B的中點(diǎn)C($\frac{1+x}{2}$,$\frac{1}{2}$|log2x|).
由于點(diǎn)C在函數(shù)g(x)=($\frac{1}{2}$)x的圖象上,
故有$\frac{1}{2}$|log2x|=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{1+x}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x,
即|log2x|=$\sqrt{2}$•($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x,
故函數(shù)f(x)關(guān)于函數(shù)g(x)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是,
即為函數(shù)y=|log2x|和曲線y=$\sqrt{2}$•($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
在同一個(gè)坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=|log2x|和y=$\sqrt{2}$•($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x的$\frac{4}{1+x}$的圖象,
由圖象知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè),
則函數(shù)f(x)關(guān)于函數(shù)g(x)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是2,
故故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義,關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法,方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

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