Question

已知等比數列{a_n}的公比為q=-

1

2

．
（1）若a₃=

1

8

，求數列{a_n}的前n項和；
（2）證明：對任意k∈N₊，a_k，a_k+2，a_k+1成等差數列．

Answer 1

考點：等差數列的性質,等差關系的確定,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由a₃=

1

8

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1，代入等比數列的前n項和公式，運算求得結果．
（Ⅱ）對任意k∈N₊，化簡2a_k+2-（a_k +a_k+1）為a₁q^k-1（2q²-q-1），把q=-

1

2

代入可得2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差數列．

解答： （1）解：由a₃=

1

8

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得a₁=

1

2

．
∴數列{a_n}的前n項和S_n=

1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

1-(- 1 2 )n

3

．
（2）證明：對任意k∈N₊，2a_k+2-（a_k +a_k+1）=2a₁q^k+1-a₁q^k-1-a₁q^k=a₁q^k-1（2q²-q-1）．
把q=-

1

2

代入可得2q²-q-1=0，故2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差數列．

點評：本題主要考查等差關系的確定，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．