Question

4．將3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的種數(shù)：
（1）甲、乙兩人必須站在兩頭；    
（2）男生必須排在一起；
（3）男生互不相鄰；    
（4）甲、乙兩人之間恰好間隔1人．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、先將甲、乙兩人安排在兩頭，②將其余5人全排列，安排在中間5個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析，①、將男生看成一個元素，考慮3人之間的順序，②、將3名男生的整體與4名女生進行全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析，①、將4名女生進行全排列，②、排好后有5個空位，在5個空位中任選3個，安排3名男生，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，分3步進行分析，①、先安排甲乙2人，考慮其順序，②、在剩余的5人中任選1人，排在甲乙2人之間，③、將3人看成一個元素，與剩余的4人進行全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）甲、乙兩人必須站在兩頭，則先將甲乙2人安排在兩端，有A₂²=2種方法，
其余5人站在中間5個位置，有A₅⁵=120種方法，
根據(jù)乘法原理可得，不同的排列方法共有2×120=240種；
（2）將男生看成一個元素，考慮3人之間的順序，有A₃³=6種順序，
將3名男生的整體與4名女生進行全排列，有A₅⁵=120種方法，
則男生必須排在一起的排法有6×120=720種；
（3）將4名女生進行全排列，有A₄⁴=24種順序，
排好后有5個空位，在5個空位中任選3個，安排3名男生，有A₅³=60種情況，
則男生互不相鄰的排法有24×60=1440種；
（4）先安排甲乙2人，有A₂²=2種方法，
在剩余的5人中任選1人，排在甲乙2人之間，有5種情況，
將3人看成一個元素，與剩余的4人進行全排列，有A₅⁵=120種排法；
則甲、乙兩人之間恰好間隔1人有2×5×120=1200種排法．

點評 本題主要考查了排列組合的運用，需要注意常見問題中的處理方法，特殊元素優(yōu)先安排，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，正難則反，運用排除法．