Question

19．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是線段BD₁上的動點．當(dāng)△PAC在平面DC₁，BC₁，AC上的正投影都為三角形時，將它們的面積分別記為S₁，S₂，S₃．
（i） 當(dāng)BP=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，S₁=S₂（填“＞”或“=”或“＜”）；
（ii） S₁+S₂+S₃的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （i）由于P到平面DC₁，BC₁的射影到底面的距離相等，且投影三角形的底邊長相等，故投影面積相等；
（ii）設(shè)$\frac{BP}{B{D}_{1}}=λ$，利用相似三角形得出三個投影的面積，表示為關(guān)于λ的函數(shù)，根據(jù)λ的范圍得出面積和的最值．

解答 解：（i）設(shè)P在平面DC₁和平面BC₁上的投影分別為P₁，P₂，
則P₁、P₂到平面ABCD的距離相等，即h₁=h₂，
∵S₁=$\frac{1}{2}×CD×$h₁，S₂=$\frac{1}{2}×BC×{h}_{2}$，
∴S₁=S₂．
（ii）設(shè)P在底面的投影為M，則M在BD上，
設(shè)$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=λ（0＜λ≤1且$λ≠\frac{1}{2}$），
則$\frac{PM}{D{D}_{1}}$=$\frac{BM}{BD}=λ$，
∴PM=λ，BM=$\sqrt{2}$λ，
∴S₁=S₂=$\frac{1}{2}×1×λ$=$\frac{λ}{2}$，S₃=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}λ$|=|$\frac{1}{2}$-λ|，
∴S₁+S₂+S₃=λ+|$\frac{1}{2}$-λ|，
∴當(dāng)λ=1時，S₁+S₂+S₃取得最大值$\frac{3}{2}$．
故答案為：（i）=，（ii）$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．