Question

9．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax+1，且f（x+1）在定義域上是偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=-bf[f（x+1）]+（3b-1）f（x+1）+2在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（-2，0）上是增函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）如果在區(qū)間（-∞，-1）上存在函數(shù)F（x），滿足F（x）•f（x+1）=g（x），當x取何值時，F(xiàn)（x）取得最小值，試求該最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，求出a的值，根據(jù)函數(shù)g（x）是減函數(shù)求出b的值；
（2）先求出函數(shù)F（x）的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，從而求出函數(shù)的最小值以及取最小值時的x的值．

解答 解：（1）f（x+1）=（x+1）²+a（x+1）+1=x²+（2+a）x+2+a在定義域上是偶函數(shù)，
∴2+a=0，a=-2，
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）² ，∴f（x+1）=x²，
∴g（x）=-bf（x²）+（3b-1）x²+2=-b（x²-1）²+（3b-1）x²+2
=-bx⁴+（5b-1）x²+2-b，
∴g′（x）=-4bx³+2（5b-1）x，
在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（-2，0）上是增函數(shù)，
g（x）在x=-2處達到極小值
∴g′（2）=32b-4（5b-1）=0，b=-$\frac{1}{3}$
∴a=-2，b=-$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）得：f（x+1）=x²，g（x）=$\frac{1}{3}$x⁴-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{7}{3}$，
∴F（x）=$\frac{g（x）}{f（x+1）}$=$\frac{{x}^{4}-{8x}^{2}+7}{{3x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{7}{{3x}^{2}}$-$\frac{8}{3}$≥2$\sqrt{{\frac{1}{3}x}^{2}•\frac{7}{{3x}^{2}}}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{2\sqrt{7}-8}{3}$，
當且僅當$\frac{1}{3}$x²=$\frac{7}{{3x}^{2}}$即x=-$\root{4}{7}$時，“=”成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，以及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，本題屬于中檔題．