Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（I）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，AC⊥平面PAB，由此能證明PB⊥AC．
（Ⅱ）連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OE，由已知得PB∥OE，由此能證明PB∥面ACE．
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF

∥

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1

2

PA，三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的高之比為1：2，S△ADC=

1

2

S平行四邊形ABCD，由此能求出三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴AC⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥AC．
（Ⅱ）證明：連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OE，
∵O為BD的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，
在△PBD中，OE為△PBD的中位線，
∴PB∥OE，又OE?面ACE，PB?面ACE，
∴PB∥面ACE．
（Ⅲ）解：取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF

∥

.

1

2

PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥面ABC，
∴三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的高之比為1：2，
又S△ADC=

1

2

S平行四邊形ABCD，
∴三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比為1：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．