Question

在直角坐標系中，把雙曲線C₁：

x2

2

-y²=1繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到雙曲線C₂，給出下列說法：
①C₁與C₂的離心率相同；②C₁與C₂的焦點坐標相同；③C₁與C₂的漸近線方程相同；④C₁與C₂的實軸長相等．
其中正確的說法有（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把雙曲線C₁：

x2

2

-y²=1繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，只需將原方程中x，y互換即可得到C₂：

y2

2

-x²=1．
對于①，由a，b的值，可知離心率改變與否；
對于②，由于雙曲線的位置改變，可知焦點位置改變；
對于③，在C₂：

y2

2

-x²=1中，令

y2

2

-x²=0，即得漸近線方程；
對于④，由于雙曲線的形狀未變，可知實軸長未變．

解答： 解：旋轉(zhuǎn)后，雙曲線C₂的實軸在y軸上，焦點也在y軸上，
其方程為

y2

2

-x²=1，a=

2

，b=1，c=

a2+b2

=

2+1

=

3

，
考慮①、④：因為a，b，c未變，所以離心率e=

c

a

不變，實軸長2a不變．
考慮②：因為焦點的位置改變，所以C₁與C₂的焦點坐標不同．
考慮③：在C₂的方程

y2

2

-x²=1中，令

y2

2

-x²=0，得漸近線方程為y=±

2

x，
在C₁：

x2

2

-y²=1中，令

x2

2

-y²=0，得漸近線方程為y=±

2

2

x，
所以漸近線方程不同．
所以正確的選項是①④．
故選C．

點評：本題考查了雙曲線的方程及雙曲線的焦點、離心率、實軸、漸近線等幾何性質(zhì)，關鍵是知道雙曲線的方程與雙曲線的焦點、離心率、實軸、漸近線的關系．