Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（

3

，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）P為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，若

PF1

•

PF2

=0，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（

3

，0），求出幾何量，即可求雙曲線C的方程；
（2）令|PF₁|=p，|PF₂|=q，由勾股定理得p²+q²=|F₁F₂|²，求得p²+q²的值，由雙曲線定義：|p-q|=2a兩邊平方，把p²+q²代入即可求得pq，即|PF₁|•|PF₂|的值，從而求出△F₁PF₂的面積．

解答： 解：（1）∵中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（

3

，0）
∴a=

3

，c=2，
∴b=1，
∴雙曲線C的方程

x2

3

-y2=1；
（2）令|PF₁|=p，|PF₂|=q
由雙曲線定義：|p-q|=2a=2

3

平方得：p²-2pq+q²=12
∠F₁PF₂=90°，由勾股定理得：
p²+q²=|F₁F₂|²=16
所以pq=2
即S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．．