Question

1．若動點(diǎn)P在直線l₁：x-2y-2=0上，動點(diǎn)Q在直線l₂：x-2y-8=0上，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），且（x₀-3）²+（y₀+1）²≤8，則x₀²+y₀²的取值范圍是[5，18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意判斷出點(diǎn)M的軌跡，利用點(diǎn)到直線的距離求得最小值，進(jìn)而聯(lián)立直線和圓的方程求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得最大值．

解答 解：依題意知，M點(diǎn)在直線x-2y-5=0上，
又滿足（x₀-3）²+（y₀+1）²≤8，
如圖故M軌跡是直線與圓及內(nèi)部的公共部分，M的軌跡為線段AB，
x₀²+y₀²的代表的幾何意義為線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
故原點(diǎn)到直線AB的距離的平方為最小值（$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$）²=5，OA為最大值．
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{（x-3）^{2}+（y+1）^{2}=8}\end{array}\right.$，取得A坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$+3，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$-1），
|OA|²=（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$+3）²+（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$-1）²=18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$，
故答案為：[5，18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$]

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，判斷出點(diǎn)Q的軌跡．