Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4ax+2a+6
（1）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求a的值
（2）若函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求f（a）=2-a|a+4|的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），則判別式△=0，解方程即可得到；
（2）由于函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，則△=16a²-4（2a+6）≤0，解得a的范圍，化簡f（a），運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到．

解答： 解：（1）由于函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），則判別式△=16a²-4（2a+6）=0，
解得a=-1或a=

3

2

；
（2）由于函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，
則△=16a²-4（2a+6）≤0，
解得-1≤a≤

3

2

，
則a+4＞0，f（a）=2-a|a+4|=-a²-4a+2
=-（a+2）²+6，a∈[-1，

3

2

]，
由于二次函數(shù)f（a）在x∈[-1，

3

2

]遞減，
則f（

3

2

）≤f（a）≤f（-1），
即有-

25

4

≤f（a）≤5，
故函數(shù)f（a）的值域?yàn)閇-

25

4

，5]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的值域的求法，考查運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求值域，屬于中檔題和易錯題．